Minimización de gasto

Microeconomía

Felipe Tappata

19 de mayo de 2026

Introducción

Problema dual

• En firma comenzamos con el problema de maximización de beneficios, y luego con el de minimización de costos.
• En consumidor ya vimos el problema de maximización de utilidad, y ahora vamos a ver el problema de minimización de gasto.

Minimización de gasto

El problema de minimización de gasto es \[ \begin{array}{cl} \displaystyle \min_{\vec{x}} & \vec{p} \cdot \vec{x} \\ \text{sujeto a} & u(\vec{x}) \geq u, \end{array}\tag{EMP} \] donde \(\vec{x}\) es el vector de consumo, \(\vec{p}\) es el vector de precios y \(u\) es un nivel de utilidad.¹

1. Recordemos que \((x_1, x_2, \ldots, x_N) \cdot (y_1, y_2, \ldots, y_N) = x_1y_1 + x_2y_2 + \ldots + x_Ny_N\) es el producto punto.

Interpretación

• El problema de minimización de gasto consiste en encontrar la canasta más barata que provee un determinado nivel de utilidad.
• Casi siempre la desigualdad de la restricción será una igualdad, y podemos asumirlo cuando resolvemos.
• Geométricamente, estamos encontrando el punto de tangencia entre una curva de indiferencia y una recta “isogasto”.

Demanda compensada

La solución al problema de minimización de gasto será una canasta que depende de precios y del nivel de utilidad, y se llama demanda compensada o demanda hicksiana.

Definición (Demanda compensada)

Para un consumidor, la demanda compensada es la solución a EMP, que denotamos \[ h(\vec{p},u) = x^C(\vec{p},u) = (h_1(\vec{p}, u), \ldots, h_L(\vec{p}, u)). \]

Función de gasto

• La función de gasto o función de gasto mínimo es el valor optimizado del problema de minimización de gasto.

Definición (Función de gasto)

Dadas las demandas \(\vec{h}(\vec{p}, u)\) que resuelven EMP, la función de gasto se define como

\[ e(\vec{p}, u) = \vec{p} \cdot \vec{h}(\vec{p}, u). \]

Elasticidad

Motivación

• Cuando tenemos funciones \(y = f(x, z)\), nos interesa medir la sensibilidad de \(y\) a cambios en \(x\) y \(z\).
• La medida de esta sensibilidad que usamos es la elasticidad, que nos dice cuánto cambia \(y\) en porcentaje cuando \(x\) o \(z\) cambia en 1%, manteniendo la otra variable constante.
• Solemos calcular elasticidades de demanda y oferta respecto a precios y cuando es aplicable respecto a ingreso.

Elasticidad

• Presentamos una definición general de elasticidad, que luego aplicaremos a diferentes funciones y diferentes variables para obtener las diferentes elasticidades.

Definición (Elasticidad)

Sea \(y\) una función de \(x\) y \(z\). La elasticidad de \(y\) respecto a \(x\) se define como \[ \eta_{y,x} = \frac{\partial y}{\partial x}\frac{x}{y}. \]

Intuición

• La motivación de definir la elasticidad de la manera anterior es que es una medida del ratio de cambios proporcionales en \(y\) y \(x\).
• Para cambios discretos, definiríamos ese ratio como \[ \tilde{\eta}_{y,x}=\frac{\Delta y/y}{\Delta x/x} = \frac{\Delta y}{\Delta x}\frac{x}{y}, \] donde \(\Delta x\) es un cambio en \(x\) y \(\Delta y\) es el resultante cambio en \(y\).
• Cuando \(\Delta x\) tiende a cero, el ratio \(\Delta y/\Delta x\) tiende a la derivada parcial de \(y\) contra \(x\), por definición (es el cociente incremental).

Interpretación

• La elasticidad de \(y\) respecto a \(x\) nos dice (aproximadamente) en qué proporción (porcentaje dividido por cien) cambia \(y\) cuando \(x\) aumenta 1%.
• Por ejemplo, una elasticidad de 5 nos dice que si \(x\) aumenta 3%, \(y\) aumenta 15% (aprox.).

Elasticidad precio directa

Definición (Elasticidad precio directa)

La elasticidad precio directa de la demanda del bien \(x_i\) es su elasticidad respecto al precio \(p_i\), \[ \eta_{x_i,p_i} = \frac{\partial x_i}{\partial p_i}\frac{p_i}{x_i}. \]

Elasticidad precio cruzada

Definición (Elasticidad precio cruzada)

La elasticidad precio cruzada de la demanda del bien \(x_i\) respecto al precio \(p_j\) es su elasticidad respecto al precio \(p_j\), \[ \eta_{x_i,p_j} = \frac{\partial x_i}{\partial p_j}\frac{p_j}{x_i}. \]

Elasticidad ingreso

Definición (Elasticidad ingreso)

La elasticidad ingreso de la demanda del bien \(x_i\) es su elasticidad respecto al ingreso \(m\), \[ \eta_{x_i,m} = \frac{\partial x_i}{\partial m}\frac{m}{x_i}. \]

Dualidad

Dualidad

• Llamamos dualidad a la relación que existe entre los dos problemas de optimización del consumidor
• Usando diferentes objetos (e.g., demandas hicksianas, función de utilidad indirecta) vamos a poder recuperar otros a través de los resultados de dualidad
• La idea principal es que los definimos de cierta manera, las soluciones de los dos problemas coinciden

Relación entre UMP y EMP

Proposición (Relación entre UMP y EMP)

Sea \(u(\cdot)\) una función de utilidad continua que representa una relación de preferencia \(\succsim\) en el conjunto de consumo \(:\mathbb{R}^L_+\), donde \(L\) es el número de bienes, y el vector de precios es \(p \gg 0\). Entonces

1. Si \(x^*\) es la canasta que maximiza utilidad cuando la riqueza es \(w > 0\), entonces \(x^*\) minimiza el gasto cuando el nivel de utilidad requerido es \(u(x^*)\). El gasto minimizado en el problema es exactamente \(w\).
2. Si \(x^*\) minimiza el gasto cuando el nivel de utilidad requerido es \(u\), entonces \(x^*\) maximiza la utilidad cuando la riqueza es \(p \cdot x^*\). El nivel de utilidad maximizado en el problema es exactamente \(u\).

En palabras

• Si en el UMP le damos al consumidor \(m = e(p, u)\), la mínima cantidad de dinero que necesita para alcanzar el nivel de utilidad \(u,\) entonces el máximo nivel de utilidad que puede alcanzar es justamente \(u\) (y lo alcanza en la misma canasta que minimiza el gasto).
• Si en el EMP fijamos el nivel de utilidad \(u = v(p, m)\), el máximo nivel de utilidad que puede alcanzar con ingreso \(m,\) entonces lo mínimo que necesita gastar para alcanzar ese nivel de utilidad es justamente \(m\) (y lo alcanza en la misma canasta que maximiza la utilidad).

Gasto y utilidad indirecta

Proposición (Relación entre gasto y utilidad indirecta)

Para un vector de precios \(p \gg 0\), riqueza \(m > 0\), y un nivel de utilidad \(u > u(0)\), vale que \[ e(p, v(p, m)) = m, \] donde \(e(p, u)\) es la función de gasto y \(v(p, m)\) la función de utilidad indirecta, y que \[ v(p, e(p, u)) = u. \]

Demandas hicksianas y marshallianas

Proposición (Relación entre demanda hicksiana y marshalliana)

Para un vector de precios \(p \gg 0\), riqueza \(m > 0\) y un nivel de utilidad \(u > u(0)\), vale que \[ h(p, u) = x(p, e(p, u)), \] donde \(h(p, u)\) es la demanda hicksiana y \(x(p, m)\) la demanda marshalliana, y que \[ x(p, m) = h(p, v(p, m)). \]

Identidad de Roy

Proposición (Identidad de Roy)

Sea \(u(\cdot)\) una función de utilidad continua que representa una relación de preferencia localmente no-saciada y estrictamente convexa \(\succsim\) sobre el conjunto de consumo \(X = \mathbb{R}^L_+\), que es diferenciable en un punto \((p, m)\gg 0\). Entonces \[ x_\ell(p, m) = -\frac{\partial v(p, m)/\partial p_\ell}{\partial v(p, m)/\partial m} \quad \text{para } \ell = 1, \ldots, L. \]

Ecuación de Slutsky

Proposición (Ecuación de Slutsky)

Sea \(u(\cdot)\) una función de utilidad continua que representa una relación de preferencia localmente no-saciada y estrictamente convexa \(\succsim\) sobre el conjunto de consumo \(X = \mathbb{R}^L_+\). Entonces, para todo \((p, m)\) y \(u = v(p, m)\), vale que \[ \frac{\partial h_\ell (p, u)}{\partial p_k} = \frac{\partial x_\ell(p, m)}{\partial p_k} + \frac{\partial x_\ell (p, m)}{\partial m} x_k(p, m) \quad \text{para } \ell, k = 1, \ldots, L, \] o analogamente \[ \frac{\partial x_\ell (p, m)}{\partial p_k} = \frac{\partial h_\ell (p, u)}{\partial p_k} - \frac{\partial x_\ell(p, m)}{\partial m}x_k(p, m) \quad \text{para } \ell, k = 1, \ldots, L. \]

Efecto ingreso y sustitución

• El primer término de la ecuación de Slutsky \((\partial h_\ell (p, u)/\partial p_k)\) es el efecto sustitución, que mide el cambio en la demanda hicksiana de \(x_\ell\) cuando cambia el precio de \(p_k\) manteniendo constante el nivel de utilidad \(u\).
• La diferencia entre este cambio y \(\partial x_\ell(p, m)/\partial p_k\) es el efecto ingreso: \[ -\frac{\partial x_\ell (p, m)}{\partial m}x_k(p, m) \]

Cambios discretos

Proposición (Efecto ingreso y sustitución para cambios discretos)

Sean \(p_0\) y \(p_1\) los precios antes y después de un cambio y \(u = v(p_0, m)\). El efecto sustitución se define \[ {\rm ES} = h(p_1, u) - h(p_0, u). \] Los efectos ingreso y total se definen entonces \[ \begin{aligned} {\rm ET} &= x(p_1, m) - x(p_0, m),\\ {\rm EI} &= {\rm ET} - {\rm ES} = x(p_1, m) - h(p_1, u), \end{aligned} \] usando dualidad en la última igualdad.

Ejercicios

Ejercicios

• 5.1
• 5.6
• 5.7
• 5.8
• 5.9
• 5.10

Ejercicio 5.1

La función de utilidad de un consumidor es \(u=x_1^2 x_2\).

1. Obtenga las curvas de demanda usuales y compensadas.
2. Calcule las elasticidades precio directa, precio cruzada e ingreso para los bienes \(x_1\) e \(x_2\) en cada uno de los casos.

Ejercicio 5.2

La función de utilidad de un consumidor es \(u=x_1 + \ln x_2\).

1. Obtenga las curvas de demanda usuales y compensadas.
2. Calcule las elasticidades precio directa, precio cruzada e ingreso para los bienes \(x_1\) e \(x_2\) en cada uno de los casos.

\[ \begin{aligned} x_1\left(p_1, p_2, m\right) & = \begin{cases}0 & \text { if } m \leq \frac{p_1}{2} \\ \frac{m}{2 p_1}-\frac{1}{4} & \text { if } m>\frac{p_1}{2}\end{cases} \\ x_2\left(p_1, p_2, m\right) & = \begin{cases}\frac{m}{p_2} & \text { if } m \leq \frac{p_1}{2} \\ \frac{m+\frac{p_1}{2}}{2 p_2} & \text { if } m>\frac{p_1}{2}\end{cases} \end{aligned} \] \[ \begin{gathered} h_1\left(p_1, p_2, u_0\right)= \begin{cases}0 & \text { if } u_0 \leq \frac{p_1}{2 p_2} \\ \frac{1}{2}\left(\sqrt{\frac{2 p_2 u_0}{p_1}}-1\right) & \text { if } u_0>\frac{p_1}{2 p_2}\end{cases} \\ h_2\left(p_1, p_2, u_0\right)= \begin{cases}u_0 & \text { if } u_0 \leq \frac{p_1}{2 p_2} \\ \sqrt{\frac{p_1 u_0}{2 p_2}} & \text { if } u_0>\frac{p_1}{2 p_2}\end{cases} \end{gathered} \]

Ejercicio 5.3

La función de utilidad de un consumidor es \(u=2x_1x_2 + x_2\).

1. Obtenga las curvas de demanda usuales y compensadas.
2. Calcule las elasticidades precio directa, precio cruzada e ingreso para los bienes \(x_1\) e \(x_2\) en cada uno de los casos.

Ejercicio 5.6

Hallar las funciones de demanda de los bienes \(x_1\) y \(x_2\) si el agente tiene las siguientes funciones de demanda compensada:

\[ \begin{aligned} x_1^C\left(p_{1, J} p_2, u\right) & =\left(1+\sqrt{\frac{p_2}{p_1}}\right) u \\ x_2^C\left(p_{1, J} p_{2,} u\right) & =\left(1+\sqrt{\frac{p_1}{p_2}}\right) u . \end{aligned} \]

Ayuda: deduzca primero la función de gasto y luego la función de utilidad indirecta para poder usar la identidad de Roy.

Ejercicio 5.7

Un consumidor que consume \(n\) bienes tiene la función de utilidad

\[ u\left(x_1, x_2\right)=\sum_{i=1}^n \alpha_i \ln x_i \]

con \(\alpha_i>0\) para todo \(i=1, \ldots, n\).

Ejercicio 5.7 (a)

1. Derive las funciones de demanda marshalliana del consumidor y su función de utilidad indirecta resolviendo el problema de maximización de la utilidad sujeto a la restricción de presupuesto. Interprete el parámetro \(\alpha_i\).

Ejercicio 5.7 (b)

2. Resuelva ahora el problema dual (minimización de gasto) y encuentre nuevamente las funciones de demanda marshalliana y de utilidad indirecta a partir de las funciones de demanda compensada.

Ejercicio 5.7 (c)

3. Derive la función de gasto.

Ejercicio 5.8

Dado la función de utilidad indirecta

\[ v\left(p_1, p_2, m\right)=\frac{m}{p_1+p_2}, \]

calcule las funciones de demanda marshalliana y la función de gasto.

Ejercicio 5.9

Para la función de utilidad \(u\left(x_1, x_2\right)=x_1^\alpha x_2^{1-\alpha}\)

1. Derive las funciones de demanda.
2. Compute los efectos sustitución e ingreso para el bien \(x_1\) dado un cambio en el precio de \((3,3)\) a \((3,4)\) si el ingreso es de \(100\).

Ejercicio 5.9 (extra)

Compute, usando la ecuación de Slutsky, los términos de efecto sustitución e ingreso para el bien \(x_1\) frente a un cambio en el precio \(p_2\) cuando los precios son \((3,3)\) y el ingreso es \(100\), y compare con los resultados del ejercicio anterior.

Ejercicio 5.10

Rehaga el ejercicio 5.9 considerando la función de utilidad \(\tilde{u} = \ln u(x_1, x_2)\).