Microeconomía
5 de mayo de 2026
Definición (Utilidad indirecta)
Dadas las demandas \(\vec{x}^*(\vec{p}, m)\) que resuelven el problema de maximización de utilidad del consumidor, la utilidad indirecta se define como
\[ v(\vec{p}, m) = u(\vec{x}^*(\vec{p}, m)). \]
Proposición (Propiedades de la utilidad indirecta)
Si \(u(\cdot)\) es continua y representa preferencias localmente no saciadas, la función de utilidad indirecta es:
Proposición (Identidad de Roy)
Sea \(u(\cdot)\) continua, representando preferencias localmente no saciadas y estrictamente convexas. Si \(v(\vec{p}, m)\) es diferenciable en un punto \((\vec{p}, m)\), entonces la demanda marshalliana del bien \(x_k\) es \[ x_k(\vec{p}, m) = -\frac{\partial v(\vec{p}, m) / \partial p_k}{\partial v(\vec{p}, m) / \partial m}. \]
Definición (Tasa marginal de sustitución)
La tasa marginal de sustitución del bien \(x_\ell\) por el bien \(x_k\) en el punto \(\vec{x}\) se define como \[ \operatorname{TMS}_{\ell k}(\vec{x}) = \frac{\partial u(\vec{x})/\partial x_\ell}{\partial u(\vec{x})/\partial x_k} = \frac{\operatorname{UMG}_\ell}{\operatorname{UMG}_k}. \]
Definición (Bien ordinario)
Decimos que el bien \(x_k\) es ordinario en un punto \((\vec{p}, m)\) si \(\partial x_k(\vec{p}, m) / \partial p_k < 0\). Es decir, si la demanda de \(x_k\) disminuye cuando su precio aumenta.
Definición (Bien Giffen)
Decimos que el bien \(x_k\) es Giffen en un punto \((\vec{p}, m)\) si \(\partial x_k(\vec{p}, m) / \partial p_k > 0\). Es decir, si la demanda de \(x_k\) aumenta cuando su precio aumenta.
Definición (Bien normal)
Decimos que el bien \(x_k\) es normal en un punto \((\vec{p}, m)\) si \(\partial x_k(\vec{p}, m) / \partial m > 0\). Es decir, si la demanda de \(x_k\) aumenta cuando el ingreso aumenta.
Definición (Bien inferior)
Decimos que el bien \(x_k\) es inferior en un punto \((\vec{p}, m)\) si \(\partial x_k(\vec{p}, m) / \partial m < 0\). Es decir, si la demanda de \(x_k\) disminuye cuando el ingreso aumenta.
Suponga que el consumidor tiene preferencias dadas por
\[ U\left(x_1, x_2\right)=\frac{1}{3} \ln \left(x_1\right)+\frac{2}{3} \ln \left(x_2\right) \]
Asuma además que su ingreso es \(m\) y los precios en el mercado están dados por \(p_1\) y \(p_2\).
- Describa el problema de maximización del consumidor.
- Obtenga las funciones de demanda de ambos bienes.
- Suponga que \(p_1=p_2=1\). Para cada bien, dibuje cuidadosamente la función que relaciona el ingreso y la cantidad demandada dados los precios (esta curva se llama Curva de Engel y es una convención colocar \(m\) en el eje de las ordenadas).
- Para \(m=10\) y \(p_2=5\), dibuje cuidadosamente la curva de demanda del bien 1 , la cual relaciona las cantidades demandadas con el precio (es convención poner el precio en el eje de las ordenadas).
- Verifique si los bienes 1 y 2 son normales o inferiores. ¿Son bienes ordinarios o Giffen? ¿Son complementarios o sustitutos?
Rehaga todo lo del ejercicio anterior para \(U\left(x_1, x_2\right)=\ln \left(x_1\right)+x_2\). Observe que la respuesta a la pregunta del inciso (e) no tiene una respuesta directa. Piénsela bien antes de contestar.
Rehaga el ejercicio 4.9 para \(U\left(x_1, x_2\right)=\min \left\{x_1, x_2\right\}\).
Suponga que usted sabe con seguridad que el consumidor que consume sólo dos bienes tiene preferencias que son monótonas y que sabe que la función de demanda del bien 1 es \(x_1\left(p_1, p_2, m\right)=m / 4 p_1\). ¿Cuál es la función de demanda del otro bien?
En el mercado por el bien \(x\) existen sólo tres consumidores cuyas curvas de demanda son:
\[ \begin{aligned} & x^1= \begin{cases}100-2 p & \text { si } 0 \leq p \leq 50 \\ 0 & \text { si } p>50\end{cases} \\ & x^2= \begin{cases}120-1.5 p & \text { si } 0 \leq p \leq 80 \\ 0 & \text { si } p>80\end{cases} \\ & x^3= \begin{cases}150-2.5 p & \text { si } 0 \leq p \leq 60 \\ 0 & \text { si } p>60\end{cases} \end{aligned} \]
respectivamente. Obtenga la curva de demanda del mercado y determine los precios y las cantidades de equilibrio cuando la curva de oferta es \(X=50+4 p\).