Microeconomía
14 de abril de 2026
Definición (Conjunto presupuestario)
Dado un vector de precios \(\vec{p}=(p_1,p_2,\ldots,p_L)\) y un ingreso \(m\), el conjunto presupuestario es \[ \mathcal{B}(\vec{p},m)=\{\vec{x} \in \mathbb{R}^L_+ : \vec{p} \cdot \vec{x} \leq m\} \]
Definición (Recta presupuestaria)
Dado un vector de precios \(\vec{p}=(p_1,p_2,\ldots,p_L)\) y un ingreso \(m\), la recta presupuestaria es \[ \mathcal{R}(\vec{p},m)=\{\vec{x} \in \mathbb{R}^L_+ : \vec{p} \cdot \vec{x} = m\} \]
El problema de maximización de utilidad es \[ \begin{array}{cl} \displaystyle \max_{\vec{x}} & U(\vec{x}) \\ \text{sujeto a} & \vec{p} \cdot \vec{x} \leq m, \end{array}\tag{UMP} \] donde \(\vec{x}\) es el vector de consumo, \(\vec{p}\) es el vector de precios y \(m\) es el ingreso del consumidor.1
La solución del problema de maximización de utilidad será una canasta que depende de los precios y el ingreso, que llamaremos demanda (o demanda marshalliana, o walrasiana para distinguirla de la demanda hicksiana que veremos más adelante).
Definición (Demanda marshalliana)
Para un consumidor, la demanda marshalliana es la solución a UMP, que denotamos
\[ x(\vec{p},m) = x^*(\vec{p},m) = x^M(\vec{p},m) = (x_1(\vec{p}, m), \ldots, x_L (\vec{p}, m)). \]
Proposición (Ley de Walras)
Si la relación de preferencias del consumidor cumple no saciedad local, entonces la solución al problema del maximización de utilidad, \(\vec{x}^*\), cumple \[ \vec{p} \cdot \vec{x}^* = m. \]
Cuando las preferencias son monótonas, el UMP se puede escribir \[ \begin{array}{cl} \displaystyle \max_{\vec{x}} & U(\vec{x}) \\ \text{sujeto a} & \vec{p} \cdot \vec{x} = m, \end{array} \] que es un problema restringido que se puede resolver usando los métodos que conocemos.
Advertencia
El método de Lagrange sirve para encontrar soluciones interiores, bajo ciertas condiciones sobre el problema. En particular, no es la forma de la que resolvemos con preferencias de sustitutos perfectos (soluciones de esquina) o complementos perfectos (función no diferenciable).
Dados los precios \(\left(p_1, p_2\right)\) y el ingreso \(m\); el conjunto de canastas que son posibles consumir dado el ingreso son aquellas en las que se verifica:
\[ \begin{aligned} p_1 x_1+p_2 x_2 & \leq m \\ 0 & \leq x_1 \\ 0 & \leq x_2 \end{aligned} \]
- Para \(p_1=3\), \(p_2=6\) y \(m=12\) dibuje el conjunto de canastas posibles. Sea explícito en averiguar los valores en los que el gráfico se intercepta con los ejes.
- Muestre qué pasa con el conjunto de canastas de consumo si el precio del bien 1 se incrementa a \(p_1=4\). Para \(\left(p_1, p_2\right)=(4,6)\) muestre también qué pasa si \(m\) cambia.
- Compare el conjunto de canastas de la parte (a) con el conjunto definido por \((p_1, p_2, m)= (6, 12, 24)\). Interprete.
- Argumente que, en general, dados los precios y el ingreso \(\left(p_1, p_2, m\right)\) el conjunto de consumo posible es el mismo que el conjunto de precios e ingresos \((t p_1, t p_2, t m)\) para cualquier \(t\) positivo.
Muchos gobiernos han ensayado diferentes programas para combatir la pobreza. Entre esos programas, aquéllos basados en subsidios para los alimentos han figurado siempre entre los más difundidos (Recuerde, por ejemplo, el food stamp program de los EE.UU. que, bajo distintas formas, ha estado vigente desde 1964 o el PAN argentino de mediados de la década de los ochenta). Estos programas asumen distintas formas.
Considere, por ejemplo, las tres alternativas siguientes de un programa para el que son elegibles las familias de al menos tres integrantes cuyos ingresos totales sumados no superen los \(\$ 300\) mensuales:
- El gobierno compra, al precio de mercado de \(\$ 1\), tickets canasta que sólo sirven para comprar alimentos y los revende a las familias elegibles a la mitad del precio. Cada familia puede adquirir un máximo de 100 tickets por mes y es ilegal su reventa por parte de las familias.
- El costo para el gobierno de la alternativa (i) es de \(\$ 50\) por cada familia que compra 100 tickets por mes. Por el mismo costo, el gobierno puede implementar una segunda alternativa: regalar 50 tickets a esas familias.
- La tercera alternativa, que tiene el mismo costo para el gobierno, consiste en otorgar un subsidio de \(\$ 50\) a cada familia.
Considere el efecto de las tres alternativas sobre la restricción de presupuesto de una familia beneficiaria tipo de tres integrantes cuyos ingresos mensuales sumados son de \(\$300\) y discuta luego las ventajas de cada forma desde el punto de vista del bienestar de esa familia.
Suponga que para algún \(a>0\) y \(b>0\) un consumidor tiene preferencias representadas por la función de utilidad \(U\left(x_1, x_2\right)=x_1^a x_2^b\). Su ingreso es \(m\) y los precios en el mercado están dados por \(p_1\) y \(p_2\), respectivamente.
- Para \(m=10, p_1=5\) y \(p_2=1\), dé un ejemplo de una canasta que pertenezca al conjunto de presupuesto pero no a la recta de presupuesto. ¿Puede esta canasta ser una elección óptima del consumidor? ¿Por qué?
- Dados los parámetros \(\left(m, p_1, p_2\right)\):
- ¿Qué canastas pertenecen al conjunto de consumo?
- ¿Qué canastas pertenecen al conjunto de consumo, pero no a la recta presupuestaria?
- ¿Qué canastas están sobre la recta presupuestaria?
- Dadas las preferencias consideradas, ¿existen conjuntos dentro del conjunto de consumo que se podrían eliminar, a priori, como posibles canastas de consumo óptimo?
- ¿Cambiaría su respuesta al punto b) si \[ U\left(x_1, x_2\right)=15-\left(1-x_1\right)^2-\left(2-x_2\right)^2 \] fuese la función de utilidad?
- ¿Es posible suponer que \(b=1-a\) ? ¿Por qué? ¿Por qué querría hacer tal supuesto?
Tome el ejercicio anterior y suponga que \(a=b=1, m=10, p_1=1\) y \(p_2=5\).
- ¿El consumidor racional consumirá todo su ingreso o no? ¿Por qué?
- Use la restricción presupuestaria para reexpresar la función de utilidad en términos de un solo bien.
- Grafique la función que obtuvo en b), con la utilidad en un eje y el consumo del bien restante en el otro. Explique qué parámetro en las preferencias proporciona la forma particular de la función.
- Suponga que \((x_1^*, x_2^*)\) es la canasta óptima para el consumidor. ¿Qué condición debe cumplir la derivada de la función que reexpresáramos anteriormente y por qué?
- Calcule \((x_1^*, x_2^*)\).
Calcule la función de utilidad indirecta y verifique la identidad de Roy.
Ahora suponga que las preferencias están representadas por \(U\left(x_1, x_2\right)=x_1+\ln \left(x_2\right)\), el ingreso es \(m\) y los precios están dados \(p_1\) y \(p_2\).
- Dibuje cuidadosamente las curvas de indiferencia para estas preferencias. En particular, sea cuidadoso con las pendientes cerca de los ejes.
- Formule el problema de elección del consumidor y escriba las condiciones necesarias para una solución interior (condiciones de primer orden). ¿Será esta solución siempre interior? ¿Qué nivel de ingreso es necesario para obtener una solución interior?
Calcule la función de utilidad indirecta y verifique la identidad de Roy.
Suponga que \(U\left(x_1, x_2\right)=2 x_1+x_2\), precios dados \(p_1\) y \(p_2\) e ingreso \(m=20\).
- Formule el problema de elección del consumidor y escriba el problema reducido en función de una sola variable. Explique como solucionarlo.
- Suponga que existe una solución interior al problema de elección. ¿Qué debe verificarse entonces con respecto a \(p_1\) y \(p_2\) ? Si la solución es interior, ¿Cuántas soluciones hay? (Ayuda: ilústrelo).
- Bajo qué condición la elección óptima del consumidor es consumir sólo \(x_1\). Bajo qué condición la elección óptima del consumidor es consumir sólo \(x_2\). ¿Cuál es la solución más probable con este tipo de preferencias, soluciones de esquina o interiores?
- Suponga que \(p_1=4\) y \(p_2=2\). Justifique que es óptimo para el consumidor elegir la canasta \(\left(x_1, x_2\right)=(4,2)\).
Considere la función de utilidad
\[ u\left(x_1, x_2\right)=\left[\alpha x_1^\rho+\beta x_2^\rho\right]^{\frac{1}{\rho}}, \alpha+\beta=1, \rho \in(0,1] \]
Esta función pertenece a la familia de las funciones de utilidad con elasticidad de sustitución constante (CES).
- Muestre que con \(\rho=1\) la función de utilidad se reduce a una función lineal.
- Muestre que cuando \(\rho \rightarrow 0\) se obtiene la función Cobb-Douglas.1
- Obtenga las funciones de demanda de ambos bienes.
- Obtenga la función de utilidad indirecta y verifique que recupera a partir de ella las funciones de demandas obtenidad en (c). Sugerencia: puede resultarle más fácil usar la función \(u\left(x_1, x_2\right)=\alpha x_1^\rho+(1-\alpha) x_2^\rho\) en lugar de la original. ¿Por qué esto es válido?
Considere un consumidor cuya función de utilidad indirecta es
\[ v\left(p_1, p_2, m\right)=a+b\left(p_1, p_2\right) m . \]
Esta función de utilidad indirecta se llama función de Gorman. La función \(b\) es positiva, derivable, decreciente en ambos precios, homogénea de grado -1 y convexa (no se preocupen por estas dos últimas propiedades).
- Obtenga las funciones de demanda de ambos bienes.
- ¿Qué propiedades tienen las funciones de demanda obtenidas?
- Proponga alguna función de utilidad u que pueda haber generado esta función de utilidad indirecta.
Suponga que en un mercado las preferencias de los consumidores de tabaco se pueden representar mediante la siguiente función de utilidad:
\[ u\left(t_0, t_1, c\right)=c+\ln \left(t_0+\alpha t_1\right) \] con \(\alpha>1\), donde \(t_0\) es el consumo de cigarrillos de baja calidad y \(t_1\) el consumo de cigarrillos de calidad alta, mientras que \(c\) es el consumo del resto de los bienes.
Asuma que \(p_c=1\) y \(m>1\) y derive las demandas marshallianas de \(t_0\) y \(t_1\). En particular, muestre que:
\[ t_0^M=\left\{\begin{array}{ll} \frac{p_c}{p_{t_0}} & \text { si } p_{t_1}>\alpha p_{t_0} \\ \in\left[0, \frac{p_c}{p_{t_0}}\right] & \text { si } p_{t_1}=\alpha p_{t_0} \\ 0 & \text { si } p_{t_1}<\alpha p_{t_0} \end{array} \quad t_1^M= \begin{cases}0 & \text { si } p_{t_1}>\alpha p_{t_0} \\ \frac{p_c}{\alpha p_{t_1}}-\frac{t_0^M}{\alpha} & \text { si } p_{t_1}=\alpha p_{t_0} \\ \frac{p_c}{\alpha p_{t_0}} & \text { si } p_{t_1}<\alpha p_{t_0}\end{cases}\right. \]
y en todos los casos \(c^M=\frac{m-1}{p_c}=m-1\).1
- Suponga que \(\alpha=2\) y que el ingreso de los consumidores es siempre suficiente para financiar el consumo de tabaco. Partimos de los siguientes precios \(p_{t_0}=4, p_{t_1}=10, p_c=1\). Analice la situación de un incremento del 50% de los precios al consumidor para ambos tipos de cigarrillos (los precios al consumidor pasan a 6 y 15 ). Determine el consumo de \(t_0\) y \(t_1\) después del cambio de precios.
- Partiendo nuevamente de precios de \(p_{t_0}=4, p_{t_1}=10\), analice el efecto de un incremento del precio por cigarrillo de \(3 \$\), que lleva los precios al consumidor a \(p_{t_0}=7, p_{t_1}=13\). Determine el consumo de \(t_0\) y \(t_1\) después del cambio.