Teoría de la Firma

Microeconomía

Felipe Tappata

17 de marzo de 2026

Rendimientos a escala

Rendimientos a escala

Los rendimientos a escala responden la siguiente pregunta.

¿Qué pasa con el nivel de producción cuando aumentamos el uso de todos los factores en la misma proporción?

  • Propiedad de la función de producción
  • No depende de los precios de los factores

Rendimientos constantes a escala

Definición (Rendimientos constantes a escala)

Una función de producción \(f(\vec{x})\) tiene rendimientos constantes a escala (CRS) si \[ f(t\vec{x}) = tf(\vec{x}), \] para cualquier \(\vec{x}\) y cualquier \(t > 0\).

Ejemplos

  • \(f(x_1, x_2) = x_1 + x_2\)
  • \(f(x_1, x_2) = x_1^{0.5} x_2^{0.5}\)

Rendimientos crecientes a escala

Definición (Rendimientos crecientes a escala)

Una función de producción \(f(\vec{x})\) tiene rendimientos crecientes a escala (IRS) si \[ f(t\vec{x}) > tf(\vec{x}), \] para cualquier \(\vec{x}\) y cualquier \(t > 1\).

Ejemplos

  • \(f(x_1, x_2) = x_1^2 + x_2\)
  • \(f(x_1, x_2) = x_1^{0.5} x_2^{1.5}\)

Rendimientos decrecientes a escala

Definición (Rendimientos decrecientes a escala)

Una función de producción \(f(\vec{x})\) tiene rendimientos decrecientes a escala (DRS) si \[ f(t\vec{x}) < tf(\vec{x}), \] para cualquier \(\vec{x}\) y cualquier \(t > 1\).

Ejemplos

  • \(f(x_1, x_2) = \sqrt{x_1} + x_2\)
  • \(f(x_1, x_2) = x_1^{0.25} x_2^{0.25}\)

Cómo ver los rendimientos a escala

Para ver como son los rendimientos a escala, hacemos la siguiente comparación.

\[ f(t \vec{x}) \text{ vs. } tf(\vec{x}) \]

  • Si el lado izquierdo es menor, DRS
  • Si el lado izquierdo es mayor, IRS
  • Si son iguales, CRS

Rendimientos marginales

Rendimientos marginales

Definición (Rendimientos marginales)

Los rendimientos marginales de un insumo \(x_i\) en la función de producción \(f(\vec{x})\) son la derivada parcial de la función \(f\) contra el insumo \(x_i\): \[ \frac{\partial f}{\partial x_i}. \]

Ejemplo

Para la función de producción \(f(x_1, x_2) = x_1^2 + x_2\), los rendimientos marginales son \[ \frac{\partial f}{\partial x_1} = 2x_1, \quad \frac{\partial f}{\partial x_2} = 1. \]

Rendimientos marginales decrecientes

Definición (Rendimientos marginales decrecientes)

El insumo \(x_i\) de la función de producción \(f(\vec{x})\) tiene rendimientos marginales decrecientes si la segunda derivada de la función de producción con respecto a \(x_i\) es negativa: \[ \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2} < 0. \]

Se definen análogamente los rendimientos marginales constantes y crecientes.

Rendimientos marginales vs. retornos a escala

  • Los rendimientos marginales y los retornos a escala son conceptos distintos.
  • Rendimientos marginales describen lo que pasa cuando se aumenta un insumo, con los demás constantes.
  • Retornos a escala describen lo que pasa cuando se aumentan todos los insumos en la misma proporción.

Coeficientes técnicos

Coeficientes técnicos

Definición (Coeficientes técnicos)

El coeficiente técnico de un insumo \(x_i\) en la función de producción \(f(\vec{x})\) es la cantidad de \(x_i\) necesaria para producir una unidad de producto (de manera eficiente).

Caso Leontief

Cuando tenemos una función de producción de tipo Leontief, los coeficientes técnicos son fijos e iguales a la inversa del coeficiente de cada factor en la función de producción. Por ejemplo, si \(f(x_1, x_2) = \min\{a x_1, b x_2\}\), entonces los coeficientes técnicos de \(x_1\) y de \(x_2\) son \(1/a\) y \(1/b\) respectivamente.

Isocuantas

Isocuantas

Definición (Isocuanta)

Una isocuanta es una curva que muestra todas las combinaciones de insumos que generan la misma cantidad de producto. Es decir, es una curva de nivel de la función de producción.

Definición (Mapa de isocuantas)

Un mapa de isocuantas es un conjunto de isocuantas que muestra las combinaciones de insumos que generan distintas cantidades de producto.

Ejercicios

Ejercicios

  • 2.1
  • 2.2
  • 2.3
  • 2.4

Ejercicio 2.1

Considere la siguiente función de producción \[ f(k, l, n)=k^{1 / 3} l^{1 / 3} n^{1 / 3} \] donde \(k\) es capital, \(l\) es tierra y \(n\) es trabajo.

2.1 (a)

  1. Verifique si la función de producción anterior exhibe rendimientos a escala crecientes, decrecientes o constantes. Justifique.

2.1 (b)

  1. Verifique si los rendimientos marginales de la función de producción anterior son decrecientes para cada insumo. Justifique.

2.1 (c)

  1. Si la función de producción está describiendo las posibilidades de producción para un país, tiene sentido asumir que \(l\) es una constante dada. Suponga, entonces, que sólo el capital y el trabajo pueden variar y verifique las propiedades de escala para función de producción restringida (sobre \(k\) y \(n\) solamente).

Ejercicio 2.2

Rehaga el ejercicio anterior con \[ f(k, l, n) = k^\alpha l^\beta n^{1-\alpha-\beta} \] donde \(\alpha, \beta \in (0, 1)\) y \(\alpha + \beta < 1\).

Ejercicio 2.3

Para las siguientes funciones de producción verifique si la tecnología exhibe retornos a escala decrecientes, constantes o crecientes. Justifique adecuadamente su respuesta.

  1. \(f(x_1, x_2) = x_1 + x_2\)
  2. \(f(x_1, x_2) = (x_1 + x_2)^\alpha\)
  3. \(f(x_1, x_2) = \sqrt{\min\{x_1, x_2\}}\)

Ejercicio 2.4

Considere la siguiente función de producción de Leontief: \[ Y=F(K, L)=\min \{2 K, L\} \] donde \(K\) es el stock de capital, y \(L\) la cantidad de trabajo.

2.4 (a)

  1. Determine cuáles son los coeficientes técnicos en cada caso

2.4 (b)

  1. Dibuje el mapa de isocuantas.

2.5 (c)

  1. Reescriba la función de producción en términos del producto per cápita (por trabajador). Llame a esta función \(f(k)\), donde \(k \equiv K / L\).

2.4 (d)

  1. ¿Cómo es \(f^{\prime}(k)=\frac{\partial f}{\partial k}\) ? Explique intuitivamente.

Función de producción per cápita

Gráfico de la función de producción per cápita