Microeconomía
10 de marzo de 2026
Definición (Función)
Una función es una regla que describe una relación entre números, tal que:
\[x\in \mathbb{R} \rightarrow y\in \mathbb{R}\]
Se escribe como \(y=f(x)\), donde \(x\) es la variable independiente e \(y\) es la dependiente.
Podemos tener una variable \(y\) que dependa de varias variables. Se escribe como \(y=f(x_1;x_2)\) y expresa la relación:
\[(x_1;x_2)\in \mathbb{R}^2 \rightarrow y\in \mathbb{R}\]
La función logarítmica \(y = \ln(x)\) tiene las propiedades:
De las propiedades anteriores, encontrar una expresión para \(\ln(x^z)\).
Definición (Derivada)
Dada una función \(f(x)\), la derivada de \(f\) contra \(x\) se define como
\[\frac{df(x)}{dx}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}\]
Si la función tiene una sola variable independiente, la notación para la derivada suele ser: \(f'(x)\).
La segunda derivada de una función se denota \(\frac{d^2f(x)}{dx^2}\) o \(f''(x)\).
A veces es útil calcular la derivada en un punto \(a\in \mathbb{D}_f\). Se escribe como \(\frac{df(x)}{dx}|_{x=a}\).
Calcular la derivada de \(f(x)=2\cdot \ln(x)\) para \(x=1\) y \(x=20\).
Calcular la segunda derivada de \(f(x)=2\cdot \ln(x)\) para \(x=1\) y \(x=20\).
Definición (Diferencial)
Definimos el cambio de \(y\) frente a un cambio \(\Delta x\) como \(\Delta y\). Queremos aproximar \(\Delta y\) con una función lineal en \(\Delta x\), utilizando la tangente. El diferencial de \(y\) en \(x\) se define como: \[dy=f'(x)dx\]
Donde \(f'(x)\) es la derivada en \(x\) y \(dx\) es el valor del cambio en la variable \(x\). La aproximación será mejor mientras más chico sea \(dx\).
Computar \(\Delta y\) y \(dy\) cuando \(y=x^2\), \(x=2\), \(\Delta x=0.1\).
Definición (Elasticidad)
Para \(y=f(x)\), la elasticidad de \(y\) con respecto a \(x\) es:
\[\eta = \frac{dy}{dx}\frac{x}{y}\]
Mide el cambio porcentual en la variable \(y\) ante un cambio de un \(1\%\) en la variable \(x\).
Muestre que la elasticidad también puede expresarse como \(\eta= \frac{d\ln(y)}{d\ln(x)}\).
Calcular la elasticidad de \(q=30\cdot p^{-5}\) y muestre que es isoelástica.
Definición (Condición de primer orden)
La condición de primer orden es:
\[\frac{df(x)}{dx}|_{x^{*}}=0\]
Nos permite identificar los candidatos a mínimos o máximos de una función \(f(x)\).
Puede no haber ningún punto en el que \(f'(x)=0\) o puede que \(f'(x)=0\) valga para un punto en el cual la función no toma un valor máximo ni mínimo.
Es una condición necesaria, pero no suficiente.
Definición (Condición de segundo orden)
La condición de segundo orden para que un punto sea un máximo es:
\[\frac{d^2f(x)}{dx^2}|_{x^*}<0\]
La condición de segundo orden para que un punto sea un mínimo es:
\[\frac{d^2f(x)}{dx^2}|_{x^*}>0\]
Encontrar candidatos a mínimo y máximo para la función \(y=x^2\).
Especificar si el punto encontrado en las CPO es máximo o mínimo. Graficar \(f(x)\), \(f'(x)\) y \(f''(x)\).
Una función \(y=f(x_1;x_2)\) puede graficarse en un gráfico de 3 dimensiones, o puede graficarse en un gráfico de 2 dimensiones que represente todos los valores de \(x_1\) y \(x_2\) que generen un mismo valor para la variable \(y\).
Definición (Curvas de nivel)
Dada una función \(f(x_1;x_2)\), la curva de nivel de nivel \(k\) es la colección de puntos en el plano \((x_1;x_2)\) que cumplen \(f(x_1;x_2)=k\).
Graficar \(y=x_1^2x_2\) para \(x_1\) y \(x_2\) entre 0 y 10 en un gráfico 3D.
Grafique todos los valores de \(x_1\) y de \(x_2\) para los cuales el valor de \(y\) es 10 para \(y=x_1^2x_2\) con \(x_1\) y \(x_2\) entre 0 y 10.
Definición (Derivada parcial)
Para una función \(y=f(x_1;x_2)\), la derivada parcial de \(f(x_1;x_2)\) respecto a \(x_1\) es:
\[\frac{\partial f(x_1;x_2)}{\partial x_1}=\lim_{\Delta x_1\rightarrow 0} \frac{f\left(x_1+\Delta x_1;x_2\right)-f(x_1;x_2)}{\Delta x_1}\]
Es decir, \(x_2\) se mantiene fija.
Una forma de escribir la derivada parcial de \(f(x_1;x_2)\) respecto al primer argumento de la función es \(f_1(x_1;x_2)\).
Definición (Derivadas parciales de segundo orden)
Las derivadas parciales de segundo orden son derivadas parciales de derivadas parciales. Para \(y=f(x_1;x_2)\) podríamos calcular:
\[\frac{\partial ^2 f}{\partial x_1^2}; \frac{\partial ^2 f}{\partial x_2^2}; \frac{\partial ^2 f}{\partial x_1\partial x_2}\]
Que también pueden escribirse como:
\[f_{11}; f_{22}; f_{12}\]
\(f_{12}\) es conocida como derivada cruzada. Se cumple que \(f_{12}=f_{21}\).
Derivar parcialmente con respecto a \(x_1\) y a \(x_2\) una función Cobb-Douglas: \(y=Ax_1^{\alpha}x_2^{\beta}\).
Computar la derivada cruzada de una función Cobb-Douglas: \(y=Ax_1^{\alpha}x_2^{\beta}\).
Definición (Diferencial total)
Un diferencial total es la aproximación del cambio de la variable \(y\) cuando hay cambios en todas las variables \(x\). De este modo, si \(y = f (x_1; x_2)\) su diferencial total será:
\[dy=\frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2\]
Es una función lineal de varias variables:
Calcular el diferencial total de \(y=20x_1+30x_2+x_1x_2\) cuando \(x_1=2\), \(x_2=4\), \(dx_1=0.1\) y \(dx_2=-0.05\)
Definición (Condición de primer orden para múltiples variables)
La condición necesaria para encontrar un óptimo es que la función no aumente para cualquier cambio de cada una de las variables \(x_i\). Si la función es \(y = f (x_1; x_2)\), se requiere que:
\[f_1=0\] \[f_2=0\]
En general, esto vale si tenemos \(n\) variables: \(f_1=0, f_2=0, ..., f_n=0\).
Encuentre puntos críticos para la función \(y=-(x_1-1)^2-(x_2-2)^2+10\).
Definición (Condiciones de segundo orden para múltiples variables)
Para \(y=f(x_1;x_2)\), las condiciones de segundo orden que deben cumplir son:
\[ \begin{aligned} & f_{11}<0 \\ & f_{22}<0 \end{aligned} \]
Y, adicionalmente,
\[ \left|\begin{array}{ll} f_{11} & f_{12} \\ f_{21} & f_{22} \end{array}\right|>0 \]
Buscamos un par \((x_1,x_2)\) que maximice el valor de una función \(f(x_1,x_2)\) y que a la vez satisfaga una restricción \(g(x_1,x_2)=m\). Formalmente:
\[ \begin{array}{cl} \displaystyle \max_{x_1,x_2} & f(x_1,x_2) \\ \text{sujeto a} & g(x_1,x_2)=m \end{array} \]
El método de Lagrange, o de multiplicadores de Lagrange consiste en definir una función \(\mathcal{L}\) que, cuando derivamos contra todos sus argumentos e igualamos a cero, nos da las condiciones necesarias para un óptimo del problema restringido. \[ \mathcal{L}(x_1,x_2,\lambda)=f(x_1,x_2)-\lambda[g(x_1,x_2)-m] \]
Aparece una nueva variable, \(\lambda\), que se conoce como multiplicador de Lagrange.
Las condiciones de primer orden del problema de Lagrange son:
\[\begin{align} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_1} &= f_1-\lambda g_1=0\\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_2} &= f_2-\lambda g_2=0\\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} &= m-g(x_1,x_2)=0 \end{align}\]
El valor de \(\lambda^*\) representa cuánto aumentaría el valor de la función objetivo si la restricción se relajara marginalmente.
\[\lambda^*=\frac{\text{Beneficio marginal de }x_1}{\text{Costo marginal de }x_1}\]
Maximizar \(y=-x_1^2+2x_1-x_2^2+4x_2+5\) sujeto a \(x_1+x_2=1\). Calcular el valor de la función en ese punto y el valor del multiplicador de Lagrange.
Escribir el lagrangiano correspondiente al problema de maximizar \(y=-x_1^2+2x_1-x_2^2+4x_2+5\) sujeto a \(x_1+x_2=1,2\) y sus condiciones de primer orden.
Considere el siguiente modelo representativo del mercado del bien A. Supuestos:
- Cantidad demandada del bien A \(\left(Q^D\right)\) : depende negativamente del precio del bien A \(\left(P_A\right)\); negativamente del precio de sus bienes complementarios ( \(P_C\) ); positivamente del precio de los bienes sustitutos \(\left(P_S\right)\); positivamente del nivel de ingreso \((m)\).
- Cantidad ofrecida del bien A \(\left(Q^S\right)\) : depende positivamente del precio del bien A \(\left(P_A\right)\); negativamente del precio de los insumos del bien A \(\left(P_I\right)\).
- El precio del bien A se ajusta para equilibrar la oferta y la demanda
- Suponga que se produce un incremento en el precio de un bien complementario a A. Represente gráficamente (en el mercado del bien A) la situación y muestre cómo se ven afectados el precio y la cantidad de equilibrio del bien A .
- Suponga que simultáneamente se produce un alza en el precio de los insumos del bien A y un incremento en el precio de los bienes sustitutos de A . Represente gráficamente (en el mercado del bien A) la situación y muestre cómo se ven afectados el precio y la cantidad de equilibrio del bien A .
- Muestra cómo sería la representación gráfica de la curva de demanda del consumidor en el espacio \((Q^D, m)\) y cómo se vería afectada esta curva cuando se produce un incremento en el precio del bien A.
Un país exporta alimentos. La curva de oferta de alimentos tiene pendiente positiva respecto al precio en pesos (la moneda local). Existe una curva de demanda interna de alimentos cuya pendiente es negativa con respecto al precio en pesos. Existe también una curva de demanda internacional con elasticidad infinita respecto al precio internacional, en pesos, de los alimentos. El precio internacional medido en pesos es igual al precio internacional medido en dólares multiplicado por el tipo de cambio, que es la cantidad de pesos que se necesitan para comprar un dólar. Este precio internacional en pesos es superior al precio de equilibrio interno.
- Represente la situación en un gráfico.
- Indique la cantidad ofrecida total al precio internacional.
- Indique la cantidad demandada internamente, al precio internacional.
- Indique la cantidad exportada.
- Indique el gasto en alimentos de los consumidores locales.
- Verifique que una devaluación del peso (aumento del tipo de cambio) provoca un incremento en la cantidad exportada.
- ¿Cuál debe ser la elasticidad de la demanda local para que el gasto interno en alimentos aumente luego de la devaluación?
- ¿Qué sucede con la cantidad ofrecida luego de la devaluación si la elasticidad precio de la oferta es cero?
- Indique si una mejora en los términos del intercambio (aumento del precio internacional en dólares de los alimentos) puede sustituir a la devaluación como forma de incrementar las exportaciones.