Clase pasada

• Analizamos la curva de costo de corto plazo
• Descomposición de costo en costos fijos y variables
• \(\operatorname{CMg}\), \(\operatorname{CMe}\), \(\operatorname{CMeV}\), \(\operatorname{CMeF}\)
• Relación entre \(\operatorname{CMg}\) y \(\operatorname{CMe}\)
• Estructura de costos “típica”
• Relación entre productividad y costo

Clase de hoy

• Vamos a ver la relación entre corto y largo plazo.
• Una idea clave es que en el largo plazo siempre se puede estar tan bien como en el corto plazo.
• También vamos a ver el concepto de rendimientos a escala.
• De nuevo llamamos \(L\) (trabajo) al insumo variable y \(K\) (capital) al insumo fijo en el corto plazo.

Relevancia del costo medio

El costo medio es un dato particularmente importante porque los beneficios \[ \Pi(q) = pq - C(q) \] se pueden reescribir, sacando como factor común \(q\), como \[ \Pi(q) = \big(p - \operatorname{CMe}(q)\big) q, \] donde \(p - \operatorname{CMe}(q)\) es el beneficio por unidad producida

Idea

• Si la firma quiere producir una determinada cantidad \(q\), en el largo plazo hay una combinación óptima de \(L\) y \(K\), en el sentido que se produce \(q\) al menor costo posible.
• En el corto plazo, el capital está fijo en una cantidad \(\bar{K}\) que no necesariamente es la óptima, y por lo tanto en general le costará más producir \(q\).
• Vamos a ver, entonces, que \(\operatorname{CMe}^{LP} \leq \operatorname{CMe}^{CP}\).
• De otra manera, el costo medio de largo plazo no puede ser mayor al de corto plazo porque siempre se puede elegir \(K = \bar{K}\).

Dos niveles de capital

• En general, se elige cualquier \(K \in \mathbb{R}^+\), pero hacemos una primera aproximación pensando que la firma solo puede elegir \(K_1\) o \(K_2\), con \(K_1 > K_2\).
• Para cada nivel de capital hay una curva de costos de corto plazo, que vamos a asumir que tiene la forma típica de U.

Gráfico: dos niveles de K

Costo medio de corto plazo para dos niveles de capital

Intuición: dos niveles de K

• Para valores bajos de \(K\), el costo medio asociado con más capital es más alto por el costo fijo.
• Para valores altos de \(K\) es al revés, con más capital, el trabajo es más productivo y el menor costo medio variable empieza a dominar.
• Si la firma quiere producir una cantidad \(q\), mira el anterior gráfico y elige el nivel de capital que para esa cantidad tiene menor costo.

Gráfico: costo medio de largo plazo

Costo medio de largo plazo

Segunda aproximación: tres niveles

• Acercándonos más al caso de infinitos niveles posibles de capital, dejemos elegir a la firma entre tres niveles de capital, \[ K_2 < K_1 < K_3 \]

Gráfico: tres niveles de K

Costo medio de largo plazo con tres niveles de K

Intuición: tres niveles de K

• La idea es la misma: para cada nivel de producción, el costo medio de largo plazo es el costo medio de corto plazo que corresponde al mejor nivel de capital para producir esa cantidad.
• La curva de costo medio de largo plazo envuelve las curvas de costo medio de corto plazo

Gráfico: K continuo

Costo medio de largo plazo con K continuo

Costo medio de largo plazo

• El costo medio de largo plazo es la envolvente inferior de las curvas de costo medio de corto plazo; reúne los mínimos de las curvas de costo medio de corto plazo.
• Para moverse de un punto a otro, hay que variar todos los factores en general.
• Puede haber un costo fijo en el largo plazo?

Economías de escala

• Algunos procesos productivos exhiben lo que se conoce como economías de escala: costos medios decrecientes en cantidad.
• Por ejemplo, lo que cuesta producir 100,000 autos no es 100,000 veces lo que cuesta producir un auto, sino mucho menos.
• Posibles causas:
  • Especialización de trabajo
  • Costos fijos
  • Tecnologías solo aplicables a gran escala

Rendimientos a escala

• Generalizamos la idea de economías a escala a la idea de rendimientos a escala
• Rendimientos crecientes a escala. Costo medio decreciente, curva de costo cóncava.
• Rendimientos constantes a escala. Costo medio constante, curva de costo lineal.
• Rendimientos decrecientes a escala. Costo medio creciente, curva de costo convexa.

Rendimientos crecientes a escala

Curvas de costo con rendimientos crecientes a escala

Rendimientos constantes a escala

Curvas de costo con rendimientos constantes a escala

Rendimientos decrecientes a escala

Curvas de costo con rendimientos decrecientes a escala

Gráfico: diferentes rendimientos

Costo medio con rendimientos diferentes para cantidades diferentes

Definición formal de rendimientos a escala

• La definición más formal tiene que ver con \(f\).

Intuición

• Los rendimientos a escala responden a la pregunta:

  Qué pasa si aumento en la misma proporción a todos los insumos?

• Si la producción aumenta en la misma proporción, CRS.

• Si aumenta en una proporción mayor, IRS.

• Si aumenta en una proporción menor, DRS.

Equivalencia

• Podemos relacionar la definición de rendimientos a escala de la función de producción con la forma de la curva de costo medio.

Rendimientos de corto plazo

• Está implícito en la definición que estamos hablando del largo plazo, pero si definimos la función de producción de corto plazo \[ f^{CP}(L) = f(L, \bar{K}),\] donde \(\bar{K}\) es el capital fijo, entonces podemos definir rendimientos a escala para el corto plazo de la misma manera.
• Por ejemplo, si \(f^{CP}(tL) = f(tL, \bar{K}) < tf(L, \bar{K}) = t f^{CP}(L)\), entonces hay DRS en el corto plazo.

Ejercicio: Cobb-Douglas

Calcule los rendimientos a escala y rendimientos a escala de corto plazo de la función de producción

\[ f(L, K) = K^{0.8} L^{0.2}. \]

Atajo Cobb-Douglas

• Hay una forma rápida de ver los rendimientos a escala de una función de producción Cobb-Douglas, sumando los exponentes.

Ejercicio 1 (Final 2013)

Gráficos de costo medio