Elasticidad

• La elasticidad es una medida de la sensibilidad de una variable ante cambios en otra variable.
• A nivel matemático, se puede definir siempre entre dos variables que tengan alguna relación.
• A nivel económico, solemos calcular la elasticidad entre cantidades (demandadas, en este caso) y precios o ingreso.

Gráfico: elasticidad

Demanda lineal

• Un caso que usamos seguido es el de demanda lineal \[ q(p) = a - bp, \] donde \(a\) y \(b\) son parámetros positivos.
• A veces también escribimos:
  • \(Q(p) = a - bp\)
  • \(D(p) = a - bp\)
  • \(Q(P) = a - bP\)
  • \(D(P) = a - bP\)

Dominio de demanda lineal

• Técnicamente está mal decir solo que la demanda es \(q(p) = a - bp\), porque para algunos valores de \(p\) esto es negativo.
• Cuando especificamos esa función de demanda nos referimos a \[ q(p) = \begin{cases} a - bp & \text{si } p \leq \frac{a}{b} \\ 0 & \text{si } p > \frac{a}{b} \end{cases} \]
• La pendiente de la demanda inversa es la recíproca de la de la demanda

Demanda inversa

• La demanda inversa nos dice, para una cantidad \(q\), cuál es el precio que genera esa cantidad demandada.
• Caso general: \(p(q) = f^{-1}(q)\)
• Caso lineal: \[ p(q) = \frac{a}{b} - \frac{1}{b}q \]

Notación para cambios

• Sea \(q\) una variable que depende de \(p\), como la demanda en las slides anteriores.
• Usamos \(\Delta p\) para referirnos a un cambio en \(p\).
• Usamos \(\Delta q\) para referirnos a el cambio en \(q\) provocado por \(\Delta p\).
• Por ejemplo, si \(p\) cambia de \(p_0\) a \(p_1\), provocando que \(q\) cambie de \(q_0\) a \(q_1\), escribimos \[ \begin{align*} \Delta p &= p_1 - p_0 \\ \Delta q &= q_1 - q_0 \end{align*} \]

Cambios proporcionales

• Si \(p\) cambia de \(p_0\) a \(p_1\), el cambio proporcional es \[ \frac{\Delta p}{p_0} = \frac{p_1 - p_0}{p_0} \]

• Si \(q\) cambia de \(q_0\) a \(q_1\), el cambio proporcional es \[ \frac{\Delta q}{q_0} = \frac{q_1 - q_0}{q_0} \]

Definiciones alternativas

• Los cambios proporcionales y porcentuales miden cambios relativo a un valor de referencia.
• Por ejemplo, \(\Delta p/p_0\) mide cuan grande es el cambio \(\Delta p\) relativo al valor inicial \(p_0\).
• Pero hay que tener cuidado porque también es válido medir \(\Delta p\) contra el valor final \(p_1\).

Elasticidad precio de la demanda

• La elasticidad precio de la demanda mide la sensibilidad de la cantidad demandada ante cambios en el precio.

Interpretación

• La elasticidad-precio nos dice en qué porcentaje cambiará la cantidad demandada ante un cambio de 1%
• Si es negativa, la cantidad caerá en ese porcentaje.
• Si es positiva, la cantidad aumentará en ese porcentaje.

Signo de la elasticidad

• La idea de ponerle un menos adelante es que en casi todos los casos la elasticidad es negativa, entonces la convierte a un número positivo.
• Nosotros vamos a usar la definición de la slide anterior, y tomar valor absoluto si lo que nos interesa es la magnitud de la elasticidad.

Elasticidad como aproximación

• La elasticidad como la definimos nosotros, calculada a partir de cambios discretos (entre dos puntos) es una aproximación a la definición más avanzada de elasticidad, que tiene un valor en un dado punto.
• En general, necesitamos saber derivadas para calcular la elasticidad en un punto, salvo en el caso de demandas lineales, donde dicha derivada es la pendiente.

Diferentes formas de calcular

• Cómo mencionamos antes, siempre que trabajamos con cambios proporcionales, se podría usar el valor inicial o el final como referencia.
• Dependiendo de qué valor usemos, vamos a tener diferentes cálculos de la elasticidad.

Método punto medio

• Una forma de evitar el problema de elegir entre el valor inicial y el final es usar el promedio de ambos.
• Recordando que el promedio entre dos números \(a\) y \(b\) es \((a + b)/2\), el método punto medio es \[ \eta_{q,p}^{\text{Punto medio}} = \frac{\Delta q/[(q_0 + q_1)/2]}{\Delta p/[(p_0 + p_1)/2]} = \frac{(p_0 + p_1)}{(q_0 + q_1)}\frac{\Delta q}{\Delta p} \]

Pendientes constantes

• Para funciones en general, \(\Delta q/\Delta p\) es una función; depende del punto y la magnitud del cambio.
• En materias más avanzadas, esto se resuelve usando el concepto de derivada.
• Para funciones lineales, no hace falta, porque \(\Delta q/\Delta p\) es una constante, la pendiente.

Método “en el punto”

• Aprovechando que para una función lineal \(q(p) = a - bp\), el cociente \(\Delta q/\Delta p\) es constante e igual a la pendiente \(-b\), podemos usar calcular la elasticidad en un punto como \[ \eta_{q,p}^{\text{Punto}} = \frac{p}{q}\frac{\Delta q}{\Delta p} = -b \frac{p}{q} \]

Advertencia: demandas lineales

• Dado que las demandas lineales tienen una pendiente constante, a veces uno piensa que la elasticidad también es constante.
• Justamente porque la pendiente es constante, la elasticidad no lo es.
• Recordemos que para \(q(p) = a - bp\), la elasticidad es \[ \eta_{q,p} = -b \frac{p}{a - bp} = -b \frac{p}{q} \] que es más negativo para valores de \(p\) más grandes.

Advertencia II: demandas lineales

• La pendiente que usamos para calcular la elasticidad es la de la demanda, no la de la demanda inversa.
• Para \(q(p) = a - bp\), la demanda inversa es \[ p(q) = \frac{a}{b} - \frac{1}{b}q, \] y su pendiente es \(\Delta p/\Delta q = -1/b\), que es la recíproca de la pendiente de la demanda.
• No hay que confundirse las dos pendientes.

Elasticidad ingreso

• Si en lugar de cambiar el precio de un bien, cambiamos el ingreso del consumidor y vemos como cambia la demanda, llegamos a la elasticidad ingreso.

Elasticidad precio-cruzada

• Si tenemos dos bienes, \(x\) e \(y\), y consideramos como cambia la demanda de alguno cuando cambiamos el precio del otro, llegamos a la elasticidad precio-cruzada.

Gráfico: perfectamente inelástica

Demanda perfectamente inelástica

Gráfico: perfectamente elástica

Demanda perfectamente elástica