Dado un conjunto \(B\) de canastas accesibles a precios \(p_x\) y \(p_y\), y un ingreso \(m\), ¿cuál es la mejor canasta que puede comprar el consumidor?
La respuesta va a depender de la forma de las preferencias del consumidor, y de las variables que definen su conjunto presupuestario: precios y ingreso.
Canasta óptima
La canasta óptima, o elección óptima, es la canasta que está sobre la recta presupuestaria o por debajo de ella (i.e., en el conjunto presupuestario) que cae sobre la mayor curva de indiferencia posible. Es en esta canasta que el consumidor obtiene la mayor utilidad posible, dado su ingreso y los precios de los bienes.
Consecuencia de monotonicidad
Cuando las preferencias son monótonas, ningún punto que esté por debajo de la restricción presupuestaria puede ser óptimo.
Proposición
Si las preferencias son monótonas, la canasta óptima se encuentra sobre la recta presupuestaria.1
¿Por qué?
Gráfico: preferencias well-behaved
Figura 1: Óptimo para preferencias monótonas y convexas (estrictamente)
Ejercicio: intuición gráfica
Usando la Figura 1, explique por qué la canasta óptima es la que está en el punto de tangencia entre la curva de indiferencia y la restricción presupuestaria.
Geometría de elección óptima
Cuando las preferencias son bien comportadas (i.e., cumplen con las propiedades de convexidad y monotonicidad), la elección óptima se puede graficar de la siguiente manera:
La curva de indiferencia más alta que toca la restricción presupuestaria es la canasta óptima.
La TMS en el punto de tangencia es igual a la pendiente de la recta presupuestaria.
Valoración del mercado vs. personal
La TMS nos dice como valora el individuo al bien \(X\) en un punto, en términos de \(Y\).
El precio (relativo) de \(X\) nos dice cuanto valora el mercado al bien \(X\) en un punto, en términos de \(Y\).
¿Qué pasa si la TMS es diferente al precio relativo en un punto? ¿Cómo puede mejorar, marginalmente, el consumidor?
Con monotonicidad y convexidad estricta, el óptimo se da en un punto tal que el consumidor y el mercado están dispuestos a sustituir los bienes a la misma tasa.
TMS igual a precio relativo
Proposición (TMS igual a precio relativo)
Si las preferencias son monótonas y convexas, la canasta óptima se encuentra en el punto \((x^*, y^*)\) donde la tasa marginal de sustitución es igual al precio: \[
\operatorname{TMS}_{x, y}(x^*, y^*) = \frac{p_x}{p_y}.
\] Análogamente, \[
\operatorname{TMS}_{y, x}(x^*, y^*) = \frac{p_y}{p_x}.
\]
Sustitutos perfectos
Sustitutos perfectos
En el caso de sustitutos perfectos, no podemos igualar \(\operatorname{TMS}_{x, y}\) al precio relativo, porque no cumplen…
…convexidad estricta
La TMS es constante
Vamos a llegar a lo que se conoce como solución de esquina.
Ejercicio: sustitutos perfectos
Suponga que la función de utilidad de un consumidor es \(U(X, Y) = 2X + 4Y\) y que el consumidor dispone de un ingreso de \(100\).
Grafique algunas curvas de indiferencia. Calcule la TMS.
Suponga que el precio de \(X\) es 1 y el precio de \(Y\) es 3. Grafique el conjunto presupuestario.
¿Cuál es la canasta óptima?
Suponga ahora que el precio de \(X\) sube a \(2\). Grafique de nuevo el conjunto presupuestario y encuentre la nueva canasta óptima.
Solución de esquina (I)
Cuando en sustitutos perfectos tenemos que \(TMS_{x, y} < \frac{p_x}{p_y}\), el consumidor está dispuesto a renunciar menos unidades de \(Y\) para obtener una unidad más de \(X\) que lo que el mercado le pide.
\(X\) es caro relativo a su valoración de él (\(Y\) es barato).
Entonces consume todo de \(Y\) y nada de \(X\).
Solución de esquina (II)
Cuando en sustitutos perfectos tenemos que \(TMS_{x, y} > \frac{p_x}{p_y}\), el consumidor está dispuesto a renunciar más unidades de \(Y\) para obtener una unidad más de \(X\) que lo que el mercado le pide.
\(X\) es barato relativo a su valoración de él (\(Y\) es caro).
Entonces consume todo de \(X\) y nada de \(Y\).
Solución interior
Puede ocurrir un tercer caso, que \(TMS_{x, y} = \frac{p_x}{p_y}\).
En este caso, el consumidor está dispuesto a renunciar exactamente la misma cantidad de \(Y\) para obtener una unidad más de \(X\) que lo que el mercado le pide.
La curva de indiferencia se superpone con la RP y cualquier punto sobre ella es óptimo.
Canasta óptima (sustitutos)
La canasta óptima \((x^*, y^*)\) se puede determinar de las siguientes ecuaciones: \[
(x^*, y^*) = \begin{cases}
(0, m/p_y) & \text{si } TMS_{x, y} < \frac{p_x}{p_y}, \\
(x, y) \in RP & \text{si } TMS_{x, y} = \frac{p_x}{p_y}, \\
(m/p_x, 0)& \text{si } TMS_{x, y} > \frac{p_x}{p_y},
\end{cases}
\] donde \(RP\) es la recta presupuestaria.
Complementos perfectos
Complementos perfectos
En el caso de complementos perfectos, no podemos igualar \(\operatorname{TMS}_{x, y}\) al precio relativo, porque no cumplen…
…convexidad estricta
La TMS no está bien definida.
Ejercicio: complementos perfectos
Suponga que la función de utilidad de un consumidor es \(U(X, Y) = \min\{6X, 2Y\}\) y que el consumidor dispone de un ingreso de \(100\).
Grafique algunas curvas de indiferencia.
Suponga que el precio de \(X\) es 1 y el precio de \(Y\) es 3. Grafique el conjunto presupuestario.
¿Cuál es la canasta óptima?
Encuentre “el rayo”: la colección de puntos óptimos que se dan a diferentes niveles de ingreso y precios.
Rayo
Vimos gráficamente que la canasta óptima siempre se da sobre el vértice de una curva de indiferencia
Podemos escribir una ecuación que caracteriza todos esos vértices: si la función de utilidad es \(U(X, Y) = \min\{aX, bY\}\), toda canasta óptima cumple \[
Y = \frac{a}{b}X,
\] además de estar sobre la R.P.
Solución de complementos
En resumen, la elección óptima para complementos perfectos se da en la intersección del rayo y la recta presupuestaria.
La canasta óptima \((x^*, y^*)\) se puede resumir de la siguiente manera: \[
\begin{gather}
ax^* = by^* \tag{Rayo}\\
p_x x^* + p_y y^* = m \tag{R.P.}\\
\end{gather}
\]
Resumen
Casi siempre estamos en alguno de tres casos:
Monótonas y estrictamente convexas. Igualamos TMS al precio relativo sobre la R.P.
Sustitutos perfectos. La canasta óptima es una solución de esquina, o toda la R.P, dependiendo de la relación entre TMS y precio relativo.
Complementos perfectos. La canasta óptima es la intersección del rayo y la R.P.
Bonus: Cobb-Douglas
La función de utilidad del consumidor es \[
u(x, y) = x^{1/2} y^{1/2},
\] que implica \(\operatorname{TMS}_{x, y} = y/x\). Si el precio de \(x\) es \(p_x = 7\), el precio de \(y\) es \(p_y = 1\) y el ingreso es \(m = 28\), encuentre la canasta óptima.
Ejercicios
Ejercicio 1 (Parcial 2017)
Considere un consumidor con preferencias monótonas y estrictamente convexas. Suponga que \(P_2=16, P_1=20\) y \(M=188\). Considere la siguiente tabla que muestra canastas de consumo posibles \(\left(q_1 ; q_2\right)\), y la tasa marginal de sustitución de \(q_1\) con respecto a \(q_2\) que provee cada canasta. ¿Cuál es la canasta óptima?
Ejercicio 1 (Parcial 2017)
\(q_1\)
\(q_2\)
\(\operatorname{TMS}_{\{1,2\}}\)
1
12
5.35
2
10
4.25
3
9
3.1
4
6
3.1
5
5
1.7
6
4
1.25
7
3
1.25
8
2
1.1
10
1
0.75
\((3, 9)\)
\((5, 5)\)
\((7, 3)\)
Otra canasta
Falta información.
Ejercicio 2 (Parcial 2012)
Ana va a la panadería. Para ella, una docena de facturas y una tarta de ricotta son sustitutos perfectos con \(\operatorname{TMS = 1}\). La última vez que había ido a la panadería, ella había optado por comprar la tarta de ricotta, dado que sólo costaba \(\$ 20\). Esta vez, cuando Ana llega a la panadería, se encuentra con que el precio de la tarta de ricotta ha aumentado a \(\$ 26\), mientras que el precio de las facturas no se ha modificado: siguen costando \(\$ 28\) la docena. Dado que Ana es una persona racional, ¿qué hará?
Negarse a pagar más cara la tarta de ricotta, y comprar la docena de facturas.
Dado que las dos son opciones válidas, pero como ahora la tarta está más cara que antes, comprará media docena de facturas y media tarta.
Seguirá comprando la tarta de ricotta.
No sabemos, porque las dos opciones son válidas y Ana es libre de hacer lo que le plazca.
Ejercicio 3 (Parcial 2015)
Suponga que usted tiene un amigo que sólo come asado o sushi. Su amigo le dice que, dada su actual canasta de consumo, en la que gasta todo su ingreso disponible, él se mantendría en el mismo nivel de utilidad si sustituyera un asado por sushi (o viceversa). Suponga que el precio relativo entre asado y sushi es \({p_A}/{p_S}={1}/{3}\). Usted, que está entrenado para tomar decisiones racionales, debería recomendarle a su amigo que:
Consuma menos asado y más sushi.
Consuma más asado y menos sushi.
No cambie su canasta de consumo.
No puede maximizar su utilidad dados los precios del sushi y del asado.
No hay suficiente información para responder esta pregunta.
Ejercicio 4
Encuentre gráficamente el óptimo para las preferencias representadas por el siguiente mapa de indiferencia.
